Материал Генрика Фукса, профессора кафедры математики и статистики из Университета Брока (Сент-Катаринс, Онтарио, Канада).
Геометрия — одна из древнейших областей математики. Она изучает свойства пространства и находящихся в нем объектов, оперируя такими понятиями, как расстояние, форма и размер. Почти все древние цивилизации выработали те или иные геометрические представления, прежде всего связанные с измерением длины, площадей и объемов. Это неслучайно: без таких знаний невозможно было ни землемерие, ни строительство.
Считается, что первые геометрические идеи возникли в Месопотамии и Древнем Египте. Однако именно древнегреческие математики заложили основы строгой геометрии — то есть, науки, в которой утверждения не просто проверяются опытом, а выводятся логически, шаг за шагом, из исходных аксиом. Это принципиально важный момент: греки первыми начали доказывать, а не просто применять.
В массовом сознании греческая геометрия чаще всего ассоциируется с Пифагором и его знаменитой теоремой о прямоугольном треугольнике. В честь мыслителя была выпущена Банком Греции серебряная памятная монета в 2013 году номиналом 10 евро в рамках программы «Греческая культура — математики». Она посвящена Пифагору и символически закрепляет его образ как одного из отцов математического мышления.
Однако историки математики подчеркивают, что влияние Пифагора не исчерпывает достижения греческой геометрии. Они выделяют так называемую «большую тройку» античных математиков: Евклида, Архимеда и Аполлония Пергского.
Евклид (около 325–270 гг. до н. э.) по праву считается отцом геометрии. Его труд «Начала» — это не просто книга, а структурированная система знаний, построенная на аксиомах, определениях и теоремах. Фактически это самый успешный учебник в истории человечества: по количеству изданий он уступает лишь Библии и использовался для обучения вплоть до начала XX века. Только на английском языке существует около двадцати различных переводов «Начал».
На этом фоне особенно удивительно, что Евклид был увековечен на монете лишь спустя почти 23 века. Это произошло в 2023 году, когда Банк Греции выпустил серебряную монету номиналом 10 евро с его изображением. Портрет Евклида на аверсе — плод художественного воображения, поскольку ни одного достоверного изображения ученого до нашего времени не сохранилось. Это важно понимать: монета не претендует на историческую точность портрета, а передает символический образ мыслителя.
Реверс монеты представляет собой мозаику геометрических фигур — линий, окружностей, эллипсов и многоугольников, — именно тех объектов, свойства которых систематически исследуются в «Началах». Внимательный читатель заметит и спирали. Это, строго говоря, анахронизм: Евклид спирали не изучал. Однако их присутствие подчеркивает более широкий контекст античной геометрии и логически подводит к следующему герою.
Архимед Сиракузский (ок. 287–212 гг. до н. э.) — один из величайших математиков всех времен. Он действительно занимался спиралями, причем с поразительной глубиной, и разработал методы вычисления площадей и объемов сложных фигур — круга, эллипса, шара, параболоида и гиперболоида вращения. Для этого он использовал так называемый метод исчерпывания, который по своей сути предвосхищает интегральное исчисление, созданное лишь в XVII веке.
Как и Евклид, Архимед был изображен на монете только в XXI веке — в 2015 году. Это также серебряная монета Банка Греции, выполненная тем же гравером. На ней Архимед показан на фоне системы составных блоков — одного из его инженерных изобретений. Этот фон подчеркивает, что Архимед был не только теоретиком, но и инженером-практиком.
Окружности на реверсе монеты, одна из которых образует ноль в надписи «10 евро», отсылают к знаменитой фразе, приписываемой Архимеду: «Не трогайте мои круги». Согласно римскому автору Валерию Максиму, Архимед произнес ее, когда римский солдат прервал его работу во время осады Сиракуз. Даже если формулировка легендарна, сам сюжет подчеркивает абсолютную сосредоточенность ученого на геометрии — вплоть до последнего мгновения жизни.
Третий представитель «большой тройки», Аполлоний Пергский (ок. 240–190 гг. до н. э.), известен прежде всего своими исследованиями конических сечений — кривых, возникающих при пересечении плоскостью поверхности конуса. Именно он ввел названия «эллипс», «парабола» и «гипербола», которыми мы пользуемся до сих пор. Собственной монеты у Аполлония пока нет, но можно надеяться, что она появится, учитывая продолжение программы Банка Греции.
В 2024 году в рамках этой же серии была выпущена монета, посвященная Фалесу Милетскому (624–540 гг. до н. э.). Большинство людей помнят его благодаря теореме Фалеса о пропорциональности отрезков при параллельных прямых. Важно понимать, что ни одного текста самого Фалеса не сохранилось; его идеи известны нам через более поздние источники. Теорема Фалеса появляется в первой книге «Начал» Евклида как 26-е предложение, что подчеркивает преемственность греческой математической традиции.
Жаль, что на реверсе монеты Фалеса не была изображена сама теорема. С педагогической точки зрения это выглядело бы логичным и наглядным решением, поскольку геометрическая иллюстрация сразу связывает имя философа с его вкладом.
Геометрия, разумеется, развивалась не только в Греции. Китайская цивилизация также внесла существенный вклад. Одним из крупнейших китайских математиков поздней античности был Цзу Чунчжи (429–500 гг.), достигший выдающейся точности в вычислении числа π. Он установил границы 3,1415926 < π < 3,1415927 и предложил рациональное приближение 355/113, невероятно точное для своего времени.
Серебряная монета номиналом 5 юаней, выпущенная в 1986 году в КНР, изображает Цзу Чунчжи на фоне молотовой мельницы — одного из его инженерных изобретений. В левом верхнем углу монеты показан многоугольник, вписанный в окружность. Это напрямую связано с методом, которым Цзу Чунчжи приближал значение π: он заменял окружность многоугольниками с все большим числом сторон.
Точно неизвестно, как именно он проводил вычисления. Существуют гипотезы, что он начинал либо с шестиугольника, либо с квадрата, каждый раз удваивая число сторон. Некоторые современные источники утверждают, что он дошел до многоугольника с 12 288 сторонами, однако историки математики относятся к этому скептически. Более вероятной считается версия, что он начал с квадрата и дошел до 32 768 сторон. Примечательно, что дизайнер монеты изобразил восьмиугольник — именно первый шаг удвоения сторон квадрата. Тем самым художественное решение оказалось ближе к исторически обоснованной версии.
Часто можно услышать утверждение, что после смерти Архимеда геометрия пришла в упадок. В определенном смысле это верно: если говорить именно об абстрактной геометрии, то в поздней античности можно назвать лишь несколько значимых имен. Среди них — Папп Александрийский (ок. 290–350), известный своими комментариями и обобщениями античной математики, и Прокл Ликийский (412–485), философ-неоплатоник и автор подробного комментария к «Началам» Евклида. Эти фигуры важны прежде всего как хранители и интерпретаторы классической геометрической традиции, а не как создатели принципиально новых теорий.
Однако было бы неверно говорить, что геометрия в целом пришла в упадок. Если абстрактная, теоретическая геометрия действительно развивалась медленно, то практическая геометрия — напротив — чувствовала себя значительно лучше. Яркий пример этого — деятельность Клавдия Птолемея (ок. 100–170), одного из крупнейших ученых поздней античности.
Птолемей известен прежде всего своим фундаментальным астрономическим трудом, получившим в Средние века арабское название «Альмагест». В нем он изложил геоцентрическую модель Вселенной, полностью построенную на геометрических принципах. Важно подчеркнуть, что речь идет не о примитивной космологии, а о сложной математической системе, позволявшей делать весьма точные астрономические расчеты.
Кроме того, Птолемей написал труд «География», в котором объяснил, как изображать поверхность Земли с использованием географических координат — широты и долготы. По сути, он заложил основы картографии в том виде, в каком мы понимаем ее сегодня. В 1992 году Куба выпустила серебряную монету номиналом 10 песо, на которой Птолемей изображен вместе с картографом и математиком эпохи Возрождения Паоло Тосканелли (1397–1482).
Их совместное изображение на монете неслучайно. Тосканелли опирался на географические данные Птолемея из «Географии» и пришел к идее, что в Азию можно попасть, двигаясь на запад, преодолев сравнительно небольшое расстояние — около 6 500 миль. Он даже составил карту, иллюстрирующую этот замысел. Именно этой картой располагал Христофор Колумб, и именно она убедила его в возможности прямого морского пути из Европы в Азию. Современная реконструкция карты (оригинал утрачен) изображена на кубинской монете, выпущенной к 500-летию плавания Колумба. На ней хорошо видно, что Чипангу (Япония) отделена от Европы и Африки Океанским морем (Mare Oceanum).
К теме картографии мы еще вернемся, а пока продолжим рассматривать развитие геометрии в хронологическом порядке.
В Средние века в области абстрактной геометрии действительно происходило немногое, однако практическая геометрия вновь пережила расцвет, особенно в позднем Средневековье. Великолепные готические соборы Европы — это живое свидетельство мастерства средневековых архитекторов. При проектировании и строительстве этих сооружений использовались сложные геометрические приемы: пропорции, симметрии, расчет нагрузок и визуальных эффектов. Даже без развитой теории архитекторы умели виртуозно применять геометрию на практике.
В начале XV века происходит еще одно ключевое событие в истории практической геометрии. Итальянский архитектор и инженер Филиппо Брунеллески (1377–1446), изображенный на монете Сан-Марино номиналом 1000 лир 1977 года (к 400-летию со дня рождения), провел в 1415–1420 годах серию экспериментов, которые привели его к открытию линейной перспективы. Линейная перспектива — это способ изображения трехмерного пространства на плоской поверхности, создающий иллюзию глубины за счет сходящихся линий.
Брунеллески считается первым, кто строго и последовательно описал принципы линейной перспективы. На монете Сан-Марино он изображен на возвышении или строительных лесах в окружении людей, что, вероятно, символизирует его обсуждение проекта с мастерами-строителями. Балки, перпендикулярные плоскости монеты, сходятся в точке за ее пределами — именно так работает перспектива. Небольшое искажение добавлено для согласования перспективы с круглой формой монеты.
В 1470-х годах итальянский художник Пьеро делла Франческа (1415–1492) развил идеи Брунеллески и написал влиятельный трактат De prospectiva pingendi («О перспективе в живописи»). Опираясь на труды Евклида, он изложил математические основы перспективы и объяснил, как создавать иллюзию глубины не только с помощью линий, но и с помощью цвета. Итальянская монета 500 лир 1992 года изображает его портрет на аверсе и одну из самых известных фресок — «Воскресение» — на реверсе. Хотя композиция этой фрески построена на строгих геометрических принципах, особенно наглядно перспективу демонстрирует другая работа художника — «Бичевание Христа», где прямые линии явно сходятся в одной точке.
В начале XVI века францисканский монах Лука Пачоли (1447–1517) сделал следующий шаг в развитии теории перспективы. В своей книге Divina proportione («О божественной пропорции») (1509) он исследовал пропорции в изобразительном искусстве и архитектуре, связывая их с перспективными построениями. Итальянская монета 500 лир 1994 года содержит его портрет и надпись «1494 Luca Pacioli 1994». Дата 1494 указывает на публикацию его другого фундаментального труда — Summa de arithmetica («Сумма арифметики»), где впервые была систематически описана двойная бухгалтерская запись. Именно за этот вклад Пачоли получил титул «отца бухгалтерского учета».
После рассмотрения практической геометрии вернемся к более абстрактным вопросам. В первой половине XVII века произошло событие, которое можно назвать «объединением геометрии и алгебры». Это связано прежде всего с именем Рене Декарта (1596–1650), сформулировавшего основы аналитической геометрии — то есть, описания геометрических фигур с помощью координат и уравнений. Сегодня этот раздел математики чаще называют декартовой геометрией.
Хотя Декарта обычно считают ее единственным основателем, следует помнить, что значительный вклад внес и Пьер де Ферма (1607–1665). Французская монета 100 франков 1991 года изображает голову Декарта, из которой слева «вырастают» книги, а справа — свиток, символизируя соединение философии, математики и письменного знания. Более наглядно геометрический аспект его наследия отражен на монете Сан-Марино номиналом 50 лир 1996 года, где бюст Декарта помещен внутри координатных осей — прямого символа аналитической геометрии.
Переходя к XVIII и XIX векам, мы неизбежно сталкиваемся с фигурой Карла Фридриха Гаусса (1777–1855) — одного из самых влиятельных математиков за всю историю науки, которого нередко называют «князем математиков». Его вклад охватывает практически все области математики, но здесь мы сосредоточимся именно на геометрии.
Прежде чем перейти к его идеям, стоит отметить любопытный нумизматический факт. В 1977 году, к 200-летию со дня рождения Гаусса, две разные немецкие государственные системы — ГДР и ФРГ — выпустили памятные монеты. Восточногерманская монета номиналом 20 марок (разумеется, восточногерманских) украшена графиком гауссовой кривой — знаменитого нормального распределения вероятностей, широко используемого в статистике и известного как «колокол». Это исключительно удачный символ: даже люди, далекие от математики, узнают эту кривую, настолько она укоренилась в массовой культуре.
Западногерманская монета номиналом 5 немецких марок представляет собой более традиционный памятный выпуск — с портретом Гаусса, вдохновленным известной картиной Кристиана Альбрехта Йенсена 1840 года, на которой ученый изображен в характерной шляпе. Любопытно, что в 1970-е годы на черном рынке курс составлял примерно 5–10 восточных марок за одну западную, так что монета ФРГ объективно имела большую покупательную ценность. Однако сегодня на коллекционном рынке ситуация обратная: монета ГДР ценится значительно выше, что объясняется прежде всего гораздо меньшим тиражом (55 тыс. по сравнению с 1 млн экземпляров).
Гаусса часто называют одним из первооткрывателей неевклидовой геометрии, хотя сам он крайне осторожно относился к публикации этих идей. Помимо этого, он стал основателем дифференциальной геометрии поверхностей — направления, принципиально отличного от декартовой геометрии. Здесь поверхность изучается глазами «внутреннего наблюдателя», который может двигаться только по самой поверхности и воспринимает ее как двумерный мир.
Вершиной этих исследований стала знаменитая Theorema Egregium («замечательная теорема»). В неформальном изложении она утверждает: кривизна поверхности может быть полностью определена измерениями, сделанными на самой поверхности — длинами и углами — без обращения к внешнему пространству. Иными словами, чтобы понять, искривлена ли поверхность, не нужно «выходить за ее пределы».
Из этого следует важнейшее следствие: поверхность сферы невозможно развернуть на плоскость без искажений. Поэтому не существует карты Земли, которая была бы полностью точной. В качестве наглядного примера можно привести проекцию Меркатора, разработанную фламандским географом Герардом Меркатором (1512–1594), изображенным на серебряной немецкой монете 5 марок 1969 года.
Проекция Меркатора прекрасно сохраняет локальные направления и формы — благодаря этому она долгое время была незаменима для морской навигации. Однако она сильно искажает размеры объектов по мере удаления от экватора: страны и области в высоких широтах выглядят значительно больше, чем есть на самом деле. Гаусс строго доказал, что любая картографическая проекция, какой бы изощренной она ни была, неизбежно приводит к тем или иным искажениям.
Имя Гаусса связано и с еще более радикальным переворотом в геометрии — отказом от представления о ее единственности. Чтобы понять это, необходимо вернуться к пяти постулатам Евклида, изложенным в «Началах». Первые четыре постулата интуитивно очевидны:
Пятый постулат — о параллельных — существенно сложнее и менее очевиден. В современной формулировке (Джона Плейфэра) он звучит так: через точку, не лежащую на данной прямой, можно провести не более одной прямой, параллельной данной.
На протяжении более чем двух тысяч лет математики пытались вывести этот постулат из первых четырех. Лишь в XIX веке стало ясно, что это невозможно: пятый постулат логически независим от остальных. Это означало, что можно построить непротиворечивые геометрии, где он либо выполняется, либо нет. Таким образом, геометрия оказалась не единственной, а множественной.
Это открытие было сделано независимо почти одновременно Яношем Бойяи (Венгрия) и Николаем Лобачевским (Россия). Оба были впоследствии увековечены на монетах. Российская монета номиналом 1 рубль (1992) была одним из первых памятных выпусков Российской Федерации после распада СССР, поэтому на ней находится надпись «Банк России» вместо прежнего «СССР». На реверсе изображен портрет Лобачевского.
В 2002 году Венгрия выпустила серебряную монету 3000 форинтов к 200-летию Бойяи. Он опубликовал свою теорию в 1831 году в виде приложения к книге своего отца. На монете воспроизведено полное латинское название этого приложения, подчеркивающее революционную мысль: геометрия пространства может быть построена независимо от истинности евклидового постулата о параллельных.
При жизни Бойяи не получил заслуженного признания. Его отец отправил работу Гауссу, и тот ответил, что не может ее хвалить, поскольку хвалил бы самого себя — якобы он пришел к тем же выводам раньше. Это письмо стало для Бойяи тяжелым ударом. При этом Гаусс так и не опубликовал никаких доказательств своих слов, и после его смерти никаких рукописных подтверждений найдено не было.
Работы Бойяи и Лобачевского надолго были забыты и лишь в 1860-е годы привлекли внимание благодаря трудам Бернхарда Римана, который предложил общий подход к построению геометрий. Для этого, по Риману, достаточно уметь измерять расстояния и углы. Именно из этих измерений выводится понятие кривизны, которая в евклидовой геометрии равна нулю, а в геометриях Лобачевского и Бойяи — постоянна и отрицательна. Сегодня такие пространства называют гиперболическими.
Во второй половине XIX века геометрия начала стремительно разрастаться: возникли алгебраическая, конечная, вычислительная геометрия и многие другие направления. Некоторые из них слишком молоды, чтобы их основатели уже появились на монетах. Однако ближайшая возможность совсем рядом: в 2026 году исполняется 200 лет со дня рождения Бернхарда Римана, и хочется надеяться, что его вклад в математику и геометрию будет отмечен красивой памятной монетой.
